Перевод чисел и двоичная арифметика

Основные темы параграфа:

• Развернутая форма записи числа
• Перевод недесятичных чисел в десятичную систему счисления
• Перевод десятичных чисел в другие системы счисления
• Арифметика двоичных чисел

Развернутая форма записи числа

Любое десятичное число можно представить в виде суммы произведений значащих цифр числа на степени десятки. Такое представление называется развернутой формой записи числа.

Разаряд чила - позиция цифры в записи числа.

*Степень десятки равна номеру соответствующего разряда в числе*.

Перевод недесятичных чисел в десятичную систему счисления

Перевод десятичных чисел в другие системы счисления

Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.
Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

Арифметика двоичных чисел

Сложение двоичных чисел

Сложение в двоичной системе счисления выполняется по тем же правилам, что и в десятичной. Два числа записываются в столбик с выравниванием по разделителю целой и дробной части и при необходимости дополняются справа незначащими нулями. Сложение начинается с крайнего правого разряда. Две единицы младшего разряда объединяются в единицу старшего.
Пример. 1011,1₂ + 1010,11₂

Вычитание двоичных чисел

В случаях, когда занимается единица старшего разряда, она дает две единицы младшего разряда. Если занимается единица через несколько разрядов, то она дает по одной единице во всех промежуточных нулевых разрядах и две единицы в том разряде, для которого занималась.
Пример. 10110,01₂ - 1001,1₂

Умножение и деление двоичных чисел

Пример. 10110,01₂ - 1001,1₂

Коротко о главном

Число в позиционной системе можно представить в виде суммы произведений составляющих его цифр на соответствующие степени основания системы. Такое представление называется развернутой формой записи числа.

Перевод недесятичного числа в десятичную систему производится путем вычисления выражения в развернутой форме записи числа.

Перевод целого десятичного числа в систему с основанием п производится путем выполнения цепочки делений с остатком на п.

Перевод дробного десятичного числа в систему с основанием п производится путем выполнения цепочки умножений на п с выделением целой части.

Использование двоичных чисел в компьютере связано с битовой структурой компьютерной памяти и простотой двоичной арифметики.

Вопросы и задания

1. Переведите числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

а) 948;

б) 763;

в) 994,125;

г) 523,25;

д) 203,82.